Question

17．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a，其前n項和為S_n，且滿足：2S_n+a_n+1=2（n+1）²（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件$2{S_n}+{a_{n+1}}=2{（n+1）^2}$，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{n^2}（n≥2）$，作差后得到從第二項開始，數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項均構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）由a₂＞a₁求得a的范圍，再由a_n+1＞a_n分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得a的范圍，取交集后得答案．

解答 解：（Ⅰ）由條件$2{S_n}+{a_{n+1}}=2{（n+1）^2}$，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{n^2}（n≥2）$
兩式相減得a_n+1+a_n=4n+2（n≥2），…（2分）
故a_n+2+a_n+1=4n+6，
兩式再相減得a_n+2-a_n=4（n≥2），
∴a₂，a₄，a₆，…構(gòu)成以a₂為首項，公差為4的等差數(shù)列；
a₃，a₅，a₇，…構(gòu)成以a₃為首項，公差為4的等差數(shù)列；…（5分）
又a₂=8-2a，
∴a_2n=4n+4-2a；由條件n=2得a₃=2+2a，
從而a_2n+1=4n-2+2a，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}a，n=1\\ 2n+（4-2a）{（-1）^n}，n≥2\end{array}\right.$…（8分）
（Ⅱ）對任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，
當(dāng)n=1時，由a₂＞a₁，有2×2+（4-2a）＞a得a＜$\frac{8}{3}$…①；
當(dāng)n≥2時，由a_n+1＞a_n，有2（n+1）+（4-2a）•（-1）ⁿ⁺¹＞2n+（4-2a）•（-1）ⁿ，
即2+（4-2a）•（-1）ⁿ⁺¹＞（4-2a）•（-1）ⁿ
若n為偶數(shù)，則2-（4-2a）＞4-2a，得a＞$\frac{3}{2}$…②；
若n為奇數(shù)，則2+（4-2a）＞4-2a，得a＜$\frac{5}{2}$…③．
由①、②、③得：$\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}$．…（13分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．