Question

18．若直線y=2x+m與曲線$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是$[-5，2\sqrt{5}-1]$．

Answer 1

分析 曲線$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$表示以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓的上半圓，而直線y=2x+m的斜率為2，截距為m，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$理可得（x-2）²+（y-3）²=4，
故曲線$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$表示以點(diǎn)（2，3）為圓心，2為半徑的圓的上半圓，
而直線y=2x+m的斜率為2，截距為m，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象：
直線與曲線相切可得$\frac{|1+m|}{\sqrt{5}}$=2，解得m=2$\sqrt{5}$-1，或m=-2$\sqrt{5}$-1，（舍去）
直線過點(diǎn)（4，3），m=-5
故直線y=2x+m與曲線$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$有公共點(diǎn)，m的取值范圍是$[-5，2\sqrt{5}-1]$．
故答案為：$[-5，2\sqrt{5}-1]$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．