Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sin2xsinφ+{cos^2}xcosφ-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+φ）（0＜φ＜π）$，其圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上個點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）若A是銳角△ABC的最小內角，求g（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用f（x）的圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得φ的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（A）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（A）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sin2xsinφ+{cos^2}xcosφ-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+φ）（0＜φ＜π）$ 的其圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinφ+$\frac{3}{4}$cosφ-$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{2}$，即 $\frac{1}{2}$sin（φ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴sin（φ+$\frac{π}{6}$）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}•\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的圖象上個點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，
得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$） 的圖象，
若A是銳角△ABC的最小內角，則A∈∈（ 0，$\frac{π}{3}$），∴4A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），∴sin（4A+$\frac{π}{6}$）∈（-1，1]，
∴g（A）∈（-4，4]，即g（A）的值域為（-4，4]．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．