分析 (Ⅰ)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足:$\sqrt{{{(x-\frac{1}{4})}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$(x>0),x>0,由此能求出曲線C的方程;
(Ⅱ)利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2,A,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-2,再分類討論證明:直線AB恒過定點(diǎn).
解答 (Ⅰ)解:設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),
那么點(diǎn)P(x,y)滿足$\sqrt{{{(x-\frac{1}{4})}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$(x>0),…(2分)
化簡(jiǎn)得y2=x(x>0).(不寫x>0扣一分) …(5分)
(Ⅱ)證明:設(shè)A(y12,y1),B(y22,y2),∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=y1y2+y12y22=2,…(6分)
解得y1y2=1或y1y2=-2.
又因?yàn)锳,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-2.…(7分)
①當(dāng)y12≠y22時(shí),AB所在直線方程為y-y1═$\frac{1}{y1+y2}$(x-y12),…(8分)
令y=0,得x=-y1y2=2,即直線AB過定點(diǎn) (2,0). …(10分)
②當(dāng)y12=y22時(shí),取y1=$\sqrt{2}$,y2=-$\sqrt{2}$,則AB所在直線的方程為x=2,
即直線AB過定點(diǎn) (2,0). …(12分)
綜上,直線AB恒過定點(diǎn)(2,0)
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法,考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和運(yùn)算的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{5}{6}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ | B. | $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ | C. | $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ | D. | $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | A?B | B. | A?B | C. | A∩B=A | D. | A∩B={x|1≤x≤2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=±x | B. | $y=±\sqrt{2}x$ | C. | $y=±\sqrt{3}x$ | D. | y=±2x |
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