13.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)$F(\frac{1}{4}\;,\;\;0)$的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是$\frac{1}{4}$.點(diǎn)A,B在曲線C上且位于x軸的兩側(cè),$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)證明:直線AB恒過定點(diǎn).

分析 (Ⅰ)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足:$\sqrt{{{(x-\frac{1}{4})}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$(x>0),x>0,由此能求出曲線C的方程;
(Ⅱ)利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2,A,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-2,再分類討論證明:直線AB恒過定點(diǎn).

解答 (Ⅰ)解:設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),
那么點(diǎn)P(x,y)滿足$\sqrt{{{(x-\frac{1}{4})}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$(x>0),…(2分)
化簡(jiǎn)得y2=x(x>0).(不寫x>0扣一分) …(5分)
(Ⅱ)證明:設(shè)A(y12,y1),B(y22,y2),∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=y1y2+y12y22=2,…(6分)
解得y1y2=1或y1y2=-2.
又因?yàn)锳,B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-2.…(7分)
①當(dāng)y12≠y22時(shí),AB所在直線方程為y-y1═$\frac{1}{y1+y2}$(x-y12),…(8分)
令y=0,得x=-y1y2=2,即直線AB過定點(diǎn) (2,0). …(10分)
②當(dāng)y12=y22時(shí),取y1=$\sqrt{2}$,y2=-$\sqrt{2}$,則AB所在直線的方程為x=2,
即直線AB過定點(diǎn) (2,0). …(12分)
綜上,直線AB恒過定點(diǎn)(2,0)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法,考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和運(yùn)算的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.${∫}_{1}^{e}lnxdx$=( 。
A.$\frac{1}{e}$-1B.e-1C.1D.e

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4.拋2顆骰子,則向上點(diǎn)數(shù)不同的概率為( 。
A.$\frac{5}{6}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{4}$

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1.如果橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(0,-1)和F2(0,1),P是橢圓上的一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,那么橢圓的方程是( 。
A.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$C.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

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8.在平面直角坐標(biāo)系中,圓C:(x-3)2+(y-1)2=9上,圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),則a=-1.

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18.若直線y=2x+m與曲線$y=3+\sqrt{4x-{x^2}}$有公共點(diǎn),則m的取值范圍是$[-5,2\sqrt{5}-1]$.

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5.設(shè)f(x)=a•ex+blnx+c,且$f'(1)=e,f'(-1)=\frac{1}{e}$.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.
(2)將(1)得到的a,b值代入f(x),得到函數(shù)g(x),若點(diǎn)A(0,d)在g(x)圖象上,且g(x)在A點(diǎn)處的切線過點(diǎn)B(1,4),求c,d的值.

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2.已知集合A={x|$\frac{1}{x}$≤1},集合B={x|$\sqrt{x-1}$<1},則(  )
A.A?BB.A?BC.A∩B=AD.A∩B={x|1≤x≤2}

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3.過原點(diǎn)作直線與圓(x-1)2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),若所得劣弧長(zhǎng)為$\frac{π}{3}$,則直線AB的方程為( 。
A.y=±xB.$y=±\sqrt{2}x$C.$y=±\sqrt{3}x$D.y=±2x

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