已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F2，過F2作漸近線的垂線，垂足為E，若|EF2|＝，離心率e＝2．

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設雙曲線的右準線與x軸相交于點K，過右焦點F2任作一條直線l交雙曲線右支于A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：∠AKF2＝∠BKF2．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)根據(jù)題設條件設，雙曲線的漸近線為，，．又

　　因此，所求得雙曲線方程為　　　　6分

　　(Ⅱ)證法一：易知，當直線與軸垂直時，由對稱性可知結論成立．

　　當直線與軸不垂直時，設的方程為：，

　　由消去得，則則，

　　要證，只須證，即

　　①

　　又，①式成立．故命題成立．

　　證法二：設在右準線的射影為，連，

　　由雙曲線第二定義可知，

　　由平行線分線段成比例定理可知，

　　∽

　　注：本題第二問也可用直接法證明，評卷時可按步給分．


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：選修設計數(shù)學1－1北師大版 北師大版 題型：013

已知雙曲線＝1(a＞)的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為

[　　]
A．

2

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學 來源：選修設計數(shù)學1－1北師大版 北師大版 題型：013

已知雙曲線＝1(a＞0，b＜0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是

[　　]
A．

(1，2)

B．

(1，2]

C．

[2，＋∞)

D．

(2，＋∞)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點分別為F1、F2，P是它左支上一點，P到左準線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為y＝x，問是否存在點P，使｜PF1｜、｜PF2｜成等比數(shù)列？若存在，求出P的坐標；若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　)

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省高二上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是     （　�。�

A．[1,2]             B．(1,2)             C．[2，＋∞)         D．(2，＋∞)

 

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