【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，過點的直線與橢圓交于，兩點，的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定點，使得為定值

【解析】

（Ⅰ）由題意可知，，則，，即，,進而得到橢圓方程；（2）當直線斜率存在時，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，，代入韋達定理即可求得P點坐標；當直線斜率不存在時，，此時可求出，和之前的相等.

（Ⅰ）由題意可知，，則，

又的周長為8，所以，即，，

故橢圓的方程：；

（Ⅱ）假設存在定點，使得為定值，

若直線的斜率存在，設的方程為，

設點，，

將設的方程代入橢圓方程，

整理得，

由韋達定理可得：，，

由于，，

則

，

因為為定值，

所以，

解得，此時，

若直線的斜率不存在，

直線的方程為，，，

則，

當，得，

綜上所述：存在定點，使得為定值.

練習冊系列答案
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【題目】李冶(1192-1279)，真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數(shù)學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注： 平方步為畝，圓周率按近似計算）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）討論的奇偶性，并說明理由；

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