Question

15．已知函數(shù)f（x）=6ln x（x＞0）和g（x）=ax²+8x-b（a，b為常數(shù)）的圖象在x=3處有公共切線．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的極大值和極小值；
（3）若關于x的方程f（x）=g（x）有且只有3個不同的實數(shù)解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對兩個函數(shù)求導，再由題目條件知，f′（3）=g′（3）從而建立關于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）確定了函數(shù)及其導數(shù)的解析式，通過探討導數(shù)的符號得函數(shù)的單調(diào)性，即可的函數(shù)的極大值和極小值．
（3）根據(jù)題意，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b的圖象應與x軸有三個公共點．即方程f（x）=g（x）有且只有3個不同的實數(shù)解的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}F（1）＞0\\ F（3）＜0.\end{array}$

解答 解：（1）因f′（x）=$\frac{6}{x}$，g′（x）=2ax+8，
依題意，得f′（3）=g′（3），
解得a=-1．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b．
則F′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8=0，
得x=1或x=3．
∴當0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
當1＜x＜3時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
當x＞3時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
∴F（x）的極大值為F（1）=b-7；F（x）的極小值為F（3）=b-15+6ln 3．
（3）根據(jù)題意，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b的圖象應與x軸有三個公共點．
即方程f（x）=g（x）有且只有3個不同的實數(shù)解的充要條件為$\left\{\begin{array}{l}F（1）＞0\\ F（3）＜0.\end{array}$
解得7＜b＜15-6ln 3．
∴b的取值范圍為（7，15-6ln 3）

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了導數(shù)的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，是個中檔題．