Question

5．如圖所示，圓錐SO的母線長為2cm，底面半徑為$\sqrt{3}$，過頂點S作截面SAC與底面所成二面角為45°，求：
（1）三棱錐S-AOC的體積；
（2）圓錐SO與三棱錐S-AOC的體積之比．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點D，連結(jié)OD，SD，則∠SDO=45°，利用勾股定理計算圓錐的高SO，則OD=SO，求出AC，再計算棱錐的體積；
（2）分別求出圓錐和棱錐的體積，得出體積比．

解答 解：（1）取AC的中點D，連結(jié)OD，SD．
∵OA=OC，SA=SC，D是AB的中點，
∴OD⊥AC，SD⊥AC
∴∠SDO是截面SAC與底面ABC所成二面角，
∴∠SDO=45°．
∵SO=$\sqrt{S{A}^{2}-O{A}^{2}}=1$，∴OD=SO=1．
∴AC=2AD=2$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_S-AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•SO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（2）V_圓錐SO=$\frac{1}{3}πO{A}^{2}•SO$=$\frac{1}{3}π×（\sqrt{3}）^{2}×1$=π．
∴$\frac{{V}_{圓錐SO}}{{V}_{S-AOC}}$=$\frac{3\sqrt{2}π}{2}$．

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，椎體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．