15.設函數(shù)f(x)=(x-1)•|x-a|(a∈R).
(1)當a=2且x≥0時,關于x的方程f(x)=kx-$\frac{2}{9}$有且僅有三個不同的實根x1,x2,x3,若t=max|x1,x2,x3|,求實數(shù)t的取值范圍
(2)當a∈(-1,$\frac{1}{5}$)時,若關于x的方程f(x)=2x-$\frac{1}{2}$a有且僅有三個不同的實根x1,x2,x3求x1+x2+x3的取值范圍.

分析 (1)當a=2時,作函數(shù)f(x)=(x-1)•|x-a|的圖象,從而確定臨界狀態(tài)時的值,從而解得;
(2)分類討論,當x≤a時,f(x)=(x-1)(a-x)=2x-$\frac{1}{2}$a,從而可得x1=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,當x>a時,f(x)=(x-1)(x-a)=2x-$\frac{1}{2}$a,從而可得x2+x3=a+3,從而可得x1+x2+x3=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,再令g(x)=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$,求導g′(x)=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$>0,從而可得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$,從而解得.

解答 解:(1)當a=2時,作函數(shù)f(x)=(x-1)•|x-a|的圖象如下,
相切時取到一個臨界狀態(tài),f(x)=(x-1)(2-x),
f′(x)=3-2x,
故3-2x=$\frac{(x-1)(2-x)+\frac{2}{9}}{x}$,
解得,x=-$\frac{4}{3}$(舍去)或x=$\frac{4}{3}$,故k=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}}\\{y=(x-1)(x-2)}\end{array}\right.$解得,
x=$\frac{5-\sqrt{5}}{3}$或x=$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$,
∵t=max{x1,x2,x3},
∴結合圖象可得,2<t<$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$;
(2)當x≤a時,f(x)=(x-1)(a-x)=2x-$\frac{1}{2}$a,
化簡可得,x2-(a-1)x+$\frac{1}{2}$a=0,
△=(a-1)2-2a=a2-4a+1=(a-2)2-3,
∵a∈(-1,$\frac{1}{5}$),∴△>0;
∴x1=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$或x2=$\frac{a-1+\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$(舍去),
當x>a時,f(x)=(x-1)(x-a)=2x-$\frac{1}{2}$a,
化簡可得,x2-(a+3)x+$\frac{3}{2}$a=0,
故△=(a+3)2-6a=a2+9>0,
故x2+x3=a+3,
故x1+x2+x3=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,
令g(x)=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$,g′(x)=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$>0,
故g(x)在(-1,$\frac{1}{5}$)上單調(diào)遞增;
故$\frac{-3+5-\sqrt{1+4+1}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{3×\frac{1}{5}+5-\sqrt{\frac{1}{25}-\frac{4}{5}+1}}{2}$,
即1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$,
故x1+x2+x3的取值范圍為(1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$).

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應用及導數(shù)的綜合應用,同時考查了數(shù)形結合的思想方法應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.下面幾個數(shù)中:①30.4②$\frac{1+tan15°}{1-tan15°}$③log23•log98④5-0.2⑤$(-3)^{\frac{1}{3}}$最大的是②.最小的是⑤.(請?zhí)顚憣獢?shù)的序號)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.直線l1:3x-y+1=0,直線l2過點(1,0),且它的傾斜角是l1的傾斜角的2倍,則直線l2的方程為( 。
A.y=6x+1B.y=6(x-1)C.y=$\frac{3}{4}$(x-1)D.y=-$\frac{3}{4}$(x-1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

3.數(shù)列{an}中,已知an=(-1)nn+a(a為常數(shù)),且a1+a4=3a2,則數(shù)列{an}的前100項和S100=-250.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

10.若集合A={x|3x+1>0},B={|x-1|<2},則A∩B=(-$\frac{1}{3}$,3).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.若$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$,則${({\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}})^6}$的展開式中的常數(shù)項( 。
A.$\frac{5}{2}$B.$-\frac{5}{2}$C.20D.-15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.已知集合$A=\left\{{x|y=lg({a-x})}\right\},B=\left\{{y|y=\frac{{2{e^x}+1}}{{{e^x}+1}}}\right\}$,且(∁RB)∪A=R,則實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.在等比數(shù)列{an}中,a3=3,a10=384,則公比q=2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.如圖所示,圓錐SO的母線長為2cm,底面半徑為$\sqrt{3}$,過頂點S作截面SAC與底面所成二面角為45°,求:
(1)三棱錐S-AOC的體積;
(2)圓錐SO與三棱錐S-AOC的體積之比.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案