分析 (1)當a=2時,作函數(shù)f(x)=(x-1)•|x-a|的圖象,從而確定臨界狀態(tài)時的值,從而解得;
(2)分類討論,當x≤a時,f(x)=(x-1)(a-x)=2x-$\frac{1}{2}$a,從而可得x1=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,當x>a時,f(x)=(x-1)(x-a)=2x-$\frac{1}{2}$a,從而可得x2+x3=a+3,從而可得x1+x2+x3=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,再令g(x)=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$,求導g′(x)=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$>0,從而可得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$,從而解得.
解答 解:(1)當a=2時,作函數(shù)f(x)=(x-1)•|x-a|的圖象如下,
相切時取到一個臨界狀態(tài),f(x)=(x-1)(2-x),
f′(x)=3-2x,
故3-2x=$\frac{(x-1)(2-x)+\frac{2}{9}}{x}$,
解得,x=-$\frac{4}{3}$(舍去)或x=$\frac{4}{3}$,故k=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}}\\{y=(x-1)(x-2)}\end{array}\right.$解得,
x=$\frac{5-\sqrt{5}}{3}$或x=$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$,
∵t=max{x1,x2,x3},
∴結合圖象可得,2<t<$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$;
(2)當x≤a時,f(x)=(x-1)(a-x)=2x-$\frac{1}{2}$a,
化簡可得,x2-(a-1)x+$\frac{1}{2}$a=0,
△=(a-1)2-2a=a2-4a+1=(a-2)2-3,
∵a∈(-1,$\frac{1}{5}$),∴△>0;
∴x1=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$或x2=$\frac{a-1+\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$(舍去),
當x>a時,f(x)=(x-1)(x-a)=2x-$\frac{1}{2}$a,
化簡可得,x2-(a+3)x+$\frac{3}{2}$a=0,
故△=(a+3)2-6a=a2+9>0,
故x2+x3=a+3,
故x1+x2+x3=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$,
令g(x)=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$,g′(x)=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$>0,
故g(x)在(-1,$\frac{1}{5}$)上單調(diào)遞增;
故$\frac{-3+5-\sqrt{1+4+1}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{3×\frac{1}{5}+5-\sqrt{\frac{1}{25}-\frac{4}{5}+1}}{2}$,
即1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$<$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$<$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$,
故x1+x2+x3的取值范圍為(1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$).
點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應用及導數(shù)的綜合應用,同時考查了數(shù)形結合的思想方法應用,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | y=6x+1 | B. | y=6(x-1) | C. | y=$\frac{3}{4}$(x-1) | D. | y=-$\frac{3}{4}$(x-1) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{5}{2}$ | B. | $-\frac{5}{2}$ | C. | 20 | D. | -15 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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