Question

19．用a_n表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，則a₉=9；10的因數(shù)有1，2，5，10，則a₁₀=5，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{{4^{2016}}-1}}{3}$．

Answer 1

分析 令a_n=g（n）．由a_n的定義易知g（n）=g（2n），且若n為奇數(shù)則g（n）=n．令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1），則f（n+1）=$\frac{1}{2}×$2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n），即f（n+1）-f（n）=4ⁿ，分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ，即可得出．

解答 解：令a_n=g（n）．
由a_n的定義易知g（n）=g（2n），且若n為奇數(shù)則g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
則f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=$\frac{1}{2}×$2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，∴f（n+1）=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）+1．
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．
故答案為：$\frac{{{4^{2016}}-1}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．