Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=丨2x+l丨+丨2x-a丨+a，x∈R．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）對(duì)任意x∈R恒有f（x）＞3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時(shí)，把不等式轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得丨2x+l丨+丨2x-a丨+a＞3的解集為R，由絕對(duì)值三角不等式可得丨2x+l丨+丨2x-a丨+a≥丨2x+l-2x+a丨+a=|a+1|+a，故有|a+1|+a＞3，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)f（x）=丨2x+l丨+丨2x-3丨+3，
由f（x）＞7，可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-2x+3+3＞7}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1-2x+3+3＞7}\end{array}\right.$②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+2x-3+3＞7}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得x∈∅，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）＞7的解集{x|x＜-$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$}．
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞3的解集是R，
即丨2x+l丨+丨2x-a丨+a＞3的解集為R．
而丨2x+l丨+丨2x-a丨+a≥丨2x+l-2x+a丨+a=|a+1|+a，
故有|a+1|+a＞3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≥0}\\{2a+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{-a-1+a＞3}\end{array}\right.$
即a＞1，
故a的范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．