7.已知F(1,0),過點(diǎn)A(-1,t)作y軸的垂線,與線段AF的垂直平方分線交于點(diǎn)M,點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)自直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)N作曲線E的兩條切線,兩切點(diǎn)分別為P,Q,求證:直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).

分析 (I)由中垂線的性質(zhì)可知MF=MA,故而E為以F為焦點(diǎn)的拋物線;
(II)設(shè)N(x0,y0),過N點(diǎn)的直線方程為x=m(y-y0)+x0,聯(lián)立拋物線方程,令△=0得出切點(diǎn)P,Q坐標(biāo)及m1,m2的關(guān)系,代入兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)即可得出直線PQ的定點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(I)∵M(jìn)在AF的中垂線上,∴|MA|=|MF|,
∵M(jìn)在直線y=t上,∴|MA|等于M到直線x=-1的距離.
∴M的軌跡為以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.
∴曲線E的方程為y2=4x.
(II)設(shè)N(x0,y0),過N的切線方程為x=m(y-y0)+x0,
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=m(y-{y}_{0})+{x}_{0}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,得y2-4my+4my0-4x0=0.
∵直線與拋物線相切,∴△=16m2-16my0+16x0=0,
即m2-my0+x0=0.
∴m1+m2=y0,m1•m2=x0
∴方程組的解為y=2m,x=m2
設(shè)P(m12,2m1),Q(m22,2m2).
則直線PQ的方程為:$\frac{y-2{m}_{1}}{2{m}_{2}-2{m}_{1}}$=$\frac{x-{{m}_{1}}^{2}}{{{m}_{2}}^{2}-{{m}_{1}}^{2}}$,
∴(m1+m2)(y-2m1)-2(x-m12)=0.
即(m1+m2)y-2m1m2-2x=0.∴y0y-2x0-2x=0.
∵N(x0,y0)在直線y=2x+3上,∴y0=2x0+3.
∴直線PQ方程為2x0y+3y-2x0-2x=0.
∴當(dāng)y=1時(shí),x=$\frac{3}{2}$.
∴直線PQ過定點(diǎn)($\frac{3}{2}$,1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
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