Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5
（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-A₁B₁-C₁的大��；
（Ⅲ）若點D是線段BC的中點，請問在線段AB₁上是否存在點E，使得DE∥面AA₁C₁C？若存在，請說明點E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面線面垂直的判定定理即可證明AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立坐標系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C-A₁B₁-C₁的大��；
（Ⅲ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）因為四邊形AA₁C₁C是邊長為4的正方形，所以AA₁⊥AC，…（1分）
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，…（2分）
所以AA₁⊥平面ABC…（3分）
（Ⅱ）解：以A為坐標原點，以AC，AB，AA
所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示：（圖略）
則A，B，C，A₁，B₁，C₁點坐標分別為：A（0，0，0）；B（0，3，0）；C（4，0，0）；A₁（0，0，4）；B₁（0，3，4）；C₁（4，0，4）…（5分）
則$D（2，\frac{3}{2}，0）$
設(shè)平面CA₁B₁的法向量$\overrightarrow m=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$
所以$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}C}，且\overrightarrow m⊥\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，所以$\left\{\begin{array}{l}4{x^'}-4{z^'}=0\\ 3{y^'}=0\end{array}\right.$…（6分）
令x′=1，所以$\overrightarrow m=（1，0，1）$，又易知平面A₁B₁C₁的法向量為$\overrightarrow n=（0，0，1）$…（7分）
所以$cosθ=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$所以二面角C-A₁B₁-C₁的大小為45°…（8分）
（Ⅲ）設(shè)E（x₁，y₁，z₁）；平面AA₁C₁C的法向量$\overrightarrow u=（x，y，z）$．
因為點E在線段AB₁上，所以假設(shè)AE=λAB₁，所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=3λ\\{z_1}=4λ\end{array}\right.$（0＜λ≤1）
即E（0，3λ，4λ），所以$\overrightarrow{DE}=（-2，3λ-\frac{3}{2}，4λ）$．…（10分）
又因為平面AA₁C₁C的法向量易知$\overrightarrow u=（0，3，0）$．
而DE∥面AA₁C₁C，所以$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow u=0$，所以$λ=\frac{1}{2}$…（11分）
所以點E是線段AB₁的中點．…（12分）
若采用常規(guī)方法并且準確，也給分．

點評 本題主要考查線面垂直，線面平行的判定以及二面角的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及建立坐標系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．