Question

14．已知過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l與雙曲線的漸近線圍成的三角形面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，雙曲線的離心率為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 可設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，令x=c，求得兩交點(diǎn)，可得三角形的面積，再由離心率公式，計(jì)算即可得到a，b，c，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：可設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
令x=c，可得y=±$\frac{bc}{a}$，
由題意可得$\frac{1}{2}$c•$\frac{2bc}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即為$\frac{b{c}^{2}}{a}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，a²+b²=c²，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和離心率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．