Question

3．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，且{b_n}的前4項(xiàng)的和為$\frac{15}{2}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若d=3，求數(shù)列{a_n}中滿足b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*）的所有項(xiàng)a_i的和．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項(xiàng)和公差，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，
（2）由已知條件利用等差數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式，b₈=2⁶=64，b₉=2⁷=128，a_n=3n-2，由b₈≤a_i≤b₉（i∈N^*），得64≤3i-2≤128，從而得到22≤i≤43，由此能求出滿足條件的所有項(xiàng)a_i的和．

解答 解：（1）因?yàn)閧b_n}是公比為2的等比數(shù)列，且其前4項(xiàng)的和為$\frac{15}{2}$，
所以${b_1}（1+2+4+8）=\frac{15}{2}$，解得${b_1}=\frac{1}{2}$，所以${b_n}=\frac{1}{2}×{2^{n-1}}={2^{n-2}}$．
（2）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差d=3的等差數(shù)列，
所以a_n=3n-2，
由b₈≤a_i≤b₉，
得2⁶≤3i-2≤2⁷，
解得22≤i≤43，
所以滿足b₈≤a_i≤b₉的所有項(xiàng)a_i為a₂₂，a₂₃，…，a₄₃，
這是首項(xiàng)為a₂₂=64，公差為3的等差數(shù)列，
共43-22+1=22項(xiàng)，
故其和為$64×22+\frac{22×21}{2}×3=2101$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．