Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）當t=3$\sqrt{2}$時，試在棱PA上確定一個點E，使得PC∥平面BDE，并求出此時$\frac{AE}{EP}$的值；
（Ⅱ）當α=60°時，若平面PAB⊥平面PCD，求此時棱BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在棱PA上取點E，使得$\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{3}$，連接AC，BD交于點F，證明EF∥PC，即可證明PC∥平面BDE；
（Ⅱ）取BC上一點G使得BG=$\sqrt{2}$，連結(jié)DG，則ABGD為正方形．過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OG，以O(shè)坐標原點，分別以$\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1）、同平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$，1，-1），由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，解得BC的長．

解答 解：（1）在棱PA上取點E，使得$\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{3}$，-------2
連接AC，BD交于點F，
因為AD∥BC，
所以$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{AE}{EP}$=$\frac{AF}{AC}$，所以，EF∥PC
因為PC?平面BDE，EF?平面BDE
所以PC∥平面BDE-------------4
（Ⅱ）取BC上一點G使得BG=$\sqrt{2}$，連結(jié)DG，則ABGD為正方形．過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OG．
AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°，
所以△PAB和△PAD都是等邊三角形，因此PA=PB=PD，
所以O(shè)A=OB=OD，
即點O為正方形ABGD對角線的交點，---------------7
以O(shè)坐標原點，分別以$\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
則O（0，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），G（1，0，0）
設(shè)棱BC的長為t，則C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1）--------------9
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1）-----------10
同理平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$，1，-1）-----------11
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，解得t=2$\sqrt{2}$，即BC的長為2$\sqrt{2}$----------------12

點評 本題主要考查了線面平行的判定定理及性質(zhì)，考查向量方法的運用，正確建立坐標系，求出平面的法向量是關(guān)鍵．