Question

8．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為A₁B₁，C₁C的中點．
（1）畫出過D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C及與平面AA₁B₁B的交線；
（2）設(shè)過D，M，N三點的平面與B₁C₁交于P，求PM+PN的值．

Answer 1

分析 （1）延長D₁C₁，在D₁C₁的延長線上取點E，使C₁E為1，延長D₁A₁，在D₁A₁的延長線上取點Q，使A₁D為$\frac{1}{3}$，連結(jié)DQ，交AA₁于R，連結(jié)EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，連結(jié)PN，MR．則D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為PN，過D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為MR．
（2）過D，M，N三點的平面是△DQE，且PC₁=$\frac{1}{2}{D}_{1}Q$=$\frac{2}{3}$，PB₁=$\frac{1}{3}$，C${\;}_{1}N={B}_{1}M=\frac{1}{2}$，由此能求出PM+PN的值．

解答 解：（1）延長D₁C₁，在D₁C₁的延長線上取點E，使C₁E為1，
延長D₁A₁，在D₁A₁的延長線上取點Q，使A₁D為$\frac{1}{3}$，
連結(jié)DQ，交AA₁于R，
連結(jié)EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，
連結(jié)PN，MR．
∵NC₁∥DD₁，∴$\frac{EN}{ED}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC₁∥QD₁，∴$\frac{EP}{EQ}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴PN∥DR，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又PN?平面BB₁C₁C，∴D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為PN．
同理，由RA₁∥DD₁，得$\frac{QR}{QD}=\frac{Q{A}_{1}}{Q{D}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
由MA₁∥ED₁，得$\frac{QM}{QE}=\frac{Q{A}_{1}}{Q{D}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{QR}{QD}=\frac{QM}{QE}$，∴MR∥DN，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又MR?平面AA₁B₁B，∴過D，M，N點的平面與平面BB₁C₁C的交線為MR．
（2）由（1）知過D，M，N三點的平面是△DQE，
且PC₁=$\frac{1}{2}{D}_{1}Q$=$\frac{2}{3}$，PB₁=$\frac{1}{3}$，C${\;}_{1}N={B}_{1}M=\frac{1}{2}$，
∴PM+PN=$\sqrt{P{{B}_{1}}^{2}+M{{B}_{1}}^{2}}$+$\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{N}^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{36}}+\sqrt{\frac{25}{36}}$=$\frac{5+\sqrt{13}}{6}$．

點評 本題考查平面與平面的交線的作法，考查線段和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運用．