Question

18．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{32}π{a^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{8}π{a^3}$
• C． $\sqrt{6}π{a^3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}π{a^3}$

Answer 1

分析 由正四面體的棱長為a，所以此四面體一定可以放在棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入體積公式計算．

解答 解：由題意，由三視圖得該幾何體是正四面體，棱長為a，此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，BC=a，
∴正方體的棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑=正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴該幾何體外接球的體積為V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是對幾何體正確還原，并根據(jù)三視圖的長度求出幾何體的幾何元素的長度，還需要求出外接球的半徑，進(jìn)而求出它的體積，考查了空間想象能力．