Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A（a，a）（a＞0），P是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象上一動點，若點P，A之間的最短距離為2$\sqrt{2}$，則滿足條件的正實數(shù)a的值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)點P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），利用兩點間的距離公式可得|PA|，令t=x+$\frac{1}{x}$，由x＞0，可得t≥2，令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，討論a的范圍：當(dāng)0＜a≤2時，當(dāng)a＞2時，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的值．

解答 解：設(shè)點P（x，$\frac{1}{x}$）（x＞0），
則|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{1}{x}-a）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a}^{2}}$
=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a}^{2}-2}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，由x＞0，可得t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①當(dāng)0＜a≤2時，t=2時g（t）取得最小值g（2）=2-4a+2a²=（2 $\sqrt{2}$）²，
解得a=-1，3，均舍去；
②當(dāng)a＞2時，g（t）在區(qū)間[2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，
可得t=a，g（t）取得最小值g（a）=a²-2，可得a²-2=（2 $\sqrt{2}$）²，解得a=$\sqrt{10}$（負(fù)的舍去）．
綜上可知：a=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題綜合考查了兩點間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．