Question

15．如圖，已知側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理能證明AC⊥BC．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AC₁∥平面CDB₁．

解答 證明：（1）∵AC=3，AB=5，BC=4
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，

設CC₁=t，則由題意得A（3，0，0），C₁（0，0，t），C（0，0，0），
B（0，4，0），D（$\frac{3}{2}$，2，0），B₁（0，4，t），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，t），
設平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（4，-3，$\frac{12}{t}$），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=0，
∵AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．

點評 本題考查兩直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．