Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）+f（x+1）≤3
（2）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）≤2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為：（1-a）（-1-a）≤0，解出即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）+f（x+1）=|x-2|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，x≥2}\\{1，1＜x＜2}\\{-2x+3，x≤1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥2時(shí)，由2x-3≤3，解得：2≤x≤3，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，原不等式恒成立，
當(dāng)x≤1時(shí)，由-2x+3≤3，解得：0≤x≤1，
∴原不等式的解集是[0，3]；
（2）∵f（x）+f（-$\frac{1}{x}$）
=|x-a|+|-$\frac{1}{x}$-a|
≥|（x-a）-（-$\frac{1}{x}$-a）|
=|x+$\frac{1}{x}$|
=x+$\frac{1}{x}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）（-\frac{1}{x}-a）≤0}\\{x=1}\end{array}\right.$時(shí)取“=”，
由題意得（1-a）（-1-a）≤0，解得：-1≤a≤1，
故a的范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論思想，考查級(jí)別不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．