Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳．若函數(shù)f（x）滿足：（ⅰ）A={x|x≠2k-1，k∈Z}；（ⅱ）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（ⅲ）對(duì)任意x∈A，有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$．則下面關(guān)于函數(shù)f（x）的敘述中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期是2
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱
• C． 函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)
• D． 函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=2k（其中k∈Z）

Answer 1

分析 利用f（x）所滿足的性質(zhì)，進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)任意x∈A，有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期是2，故A正確；
f（-x）+f（2+x）=-f（x）+f（x）=0，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，故B正確；
不能判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，不正確；
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期是2，∴f（2k）=0，∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=2k（其中k∈Z），故正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確變形是關(guān)鍵．