Question

12．已知函數(shù)f（x）=ln[（5+k）x²+6x+k+5]，若f（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 令（5+k）x²+6x+k+5=t，所以原函數(shù)是由y=lnt，和t=（5+k）x²+6x+k+5復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，顯然y=lnt在（0，+∞）上為增函數(shù)，從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，t=（5+k）x²+6x+k+5在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，且t＞0，即可得出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：令（5+k）x²+6x+k+5=t，所以原函數(shù)是由y=lnt，和t=（5+k）x²+6x+k+5復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)；
函數(shù)y=lnt在（0，+∞）上為增函數(shù)；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，t=（5+k）x²+6x+k+5在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，且t＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+k＞0}\\{-\frac{6}{2（5+k）}≤-1}\\{（5+k）-6+k+5＞0}\end{array}\right.$
∴-2＜k≤2
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查復(fù)合函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，以及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意要在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．