Question

11．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)P，Q，R分別是線段B₁B，AB和A₁C上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線CP與D₁Q，CP與D₁R給出下列結(jié)論：
①對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q，存在點(diǎn)P，使得CP⊥D₁Q；
②對(duì)于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)Q，使得D₁Q⊥CP；
③對(duì)于任意給定的點(diǎn)R，存在點(diǎn)P，使得CP⊥D₁R；
④對(duì)于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)R，使得D₁R⊥CP．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)，分別分析選項(xiàng)，利用排除法能得出結(jié)論．

解答 解：①只有D₁Q⊥平面BCC₁B₁，即D₁Q⊥平面ADD₁A₁時(shí)，
才能滿足對(duì)于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)Q，使得D₁Q⊥CP，
∵過(guò)D₁點(diǎn)于平面DD₁A₁A垂直的直線只有一條D₁C₁，
而D₁C₁∥AB，
∴①錯(cuò)誤；
②當(dāng)點(diǎn)P與B₁重合時(shí)，
CP⊥AB，且CP⊥AD1，
∴CP⊥平面ABD₁，
∵對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q，都有D₁Q?平面ABD₁，
∴對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q，存在點(diǎn)P，使得CP⊥D₁Q，
∴②正確；
③只有CP垂直D₁R在平面BCC₁B₁中的射影時(shí)，D₁R⊥CP，
∴③正確；
④只有CP⊥平面A₁CD₁時(shí)，④才正確，
∵過(guò)C點(diǎn)的平面A₁CD₁的垂線與BB₁無(wú)交點(diǎn)，
∴④錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．