Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過證明AC⊥BC，EC⊥AC，利用直線與平面垂直的判定定理證明AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）利用空間向量，求出平面BDC的一個法向量，平面BDE的法向量，利用空間向量的數量積即可求二面角E-BD-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，
由余弦定理可知：BD²=CD²+CB²-2CD•CB•cos（180⁰-∠DAB）=3CD²，
即BD=

3

CD=

3

AD，…（2分）
在△ABD中，∠DAB=60°，BD=

3

AD，
則△ABD為直角三角形，且AD⊥DB．則可知AC⊥BC　　…（4分）
又EC⊥平面ABCD，則EC⊥AC，故AC⊥平面CBE；　　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，設CB=1，
則CA=BD=

3

，
建立如圖所示的空間直角坐標系，E(0，01)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，…（9分）
向量

n

=(0，0，1)為平面BDC的一個法向量．
設向量

m

=(x，y，z)為平面BDE的法向量，則

m• BD =0 m • EB =0

，即

3 2 x- 3 2 y=0 y-z=0

，
取y=1，則x=

3

，z=1，則

m

=(

3

，1，1)為平面BDE的一個法向量．…（10分）cos＜

m

，

n

＞=

m• n

| m || n |

=

1

5

=

5

5

，
而二面角E-BD-C的平面角為銳角，則
二面角E-BD-C的余弦值為

5

5

．…（12分）

點評：本題考查空間向量的數量積的應用，二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．