Question

6．已知關于x的方程mx²-nx+2=0的兩根相等，方程x²-4mx+3n=0的一個根是另一個根的3倍（m≠0）．求證：方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有實數(shù)根．

Answer 1

分析 根據(jù)判別式的意義，由方程mx²-nx+2=0兩根相等得到m≠0且n²-8m=0①，再設方程x²-4mx+3n=0的一個根是t，另一個根為3t，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到t+3t=4m，t•3t=3n，消去t得m²=n②，解有①②組成的方程組得m=2，n=4，則方程x²-（k+n）x+（k-m）=0變形為x²-（k+4）x+（k-2）=0，然后計算該方程的判別式的值得到△=（k+2）²+20，則根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得△＞0，于是根據(jù)判別式得意義可判斷方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有實數(shù)根．

解答 證明：∵關于x的方程mx²-nx+2=0兩根相等，
∴m≠0且n²-8m=0①，
∵方程x²-4mx+3n=0的一個根是另一個根的3倍，
設一個根為t，則另一個根為3t，
∴t+3t=4m，t•3t=3n，
∴m²=n②，
由①②得m=2，n=4，
∴方程x²-（k+n）x+（k-m）=0變形為x²-（k+4）x+（k-2）=0，
△=（k+4）²-4（k-2）
=（k+2）²+20，
∵（k+2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程x²-（k+n）x+（k-m）=0一定有實數(shù)根．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關系．