【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ，1），以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得 恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】
（1）

解：由圓的方程x2+y2=b2，由橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則b=c，

∴a2=2b2，

將（ ，1）代入橢圓方程 ，解得：b2=2，則a2=4，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ；


（2）

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

當(dāng)直線k的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），

則 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（ ﹣ +1）=﹣ ，

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[ ﹣m×（﹣ ）+m2]+（﹣ ），

= = 為定值，

則 = ，解得：m=﹣ ，

則 =﹣ ，

當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），

此時(shí)，當(dāng)m=﹣ 時(shí)，則 =（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣ =﹣ ，

綜上可知：存在點(diǎn)M（﹣ ，0），使得 =﹣ ．


【解析】（1）由題意可知：b=c，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，由 恒為定值即可求得m的值，求得 的值及M點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），則m=﹣ 時(shí)，求得 的值及M點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．

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A.0
B.
C.
D.1

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A.p∨q
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A.y=f（﹣x）e﹣x﹣1
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C.y=f（x）ex﹣1
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