Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≥1}\\{\frac{1}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，g（x）=af（x）-|x-2|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若g（x）≤|x-1|+b對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=0時(shí)的g（x）的解析式，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得-b不大于1，即可得到b的范圍；
（Ⅱ）求出當(dāng)a=1時(shí)的g（x）的解析式，再求各段的最值，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-|x-2|（x＞0），
g（x）≤|x-1|+b?-b≤|x-1|+|x-2|，
由于|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤2時(shí)等號(hào)成立，
即有-b≤1，解得b≥-1．
則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-1，+∞）；                                       
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+x-2，0＜x＜1}\\{2x-2，1≤x≤2}\\{2，x＞2}\end{array}\right.$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2＞2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-2=0；                  
當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號(hào)成立；                     
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=g（x）取得最小值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)考查分段函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．