Question

4．某校高三年級研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計(jì)劃同時(shí)參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個(gè)展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個(gè)展廳參觀一小時(shí)后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人；事件B為：在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人．
（Ⅰ）求P（A）及P（B|A）；
（Ⅱ）設(shè)在參觀的第三個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳的人數(shù)為ξ，則在事件A發(fā)生的前提下，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由于每個(gè)人均有3種參觀方法，因此共有3⁶種方法，其中在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人的方法有${∁}_{6}^{2}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$種，利用古典概率計(jì)算公式即可得出，同理可得P（B|A）．
（II）在事件A發(fā)生的前提下，可知已經(jīng)有2人參觀過甲展廳，該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=0，1，2，3，4．P（ξ=k）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=4-k）=$\frac{{∁}_{4}^{4-k}}{{2}^{4}}$，（k=0，1，2，3，4），可得分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）P（A）=$\frac{{∁}_{6}^{4}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{3}^{6}}$=$\frac{10}{81}$．
P（B|A）=$\frac{{∁}_{4}^{2}}{{2}^{4}}$=$\frac{3}{8}$．
（II）在事件A發(fā)生的前提下，可知已經(jīng)有2人參觀過甲展廳，該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=4）=$\frac{{∁}_{4}^{4}}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$；
P（ξ=1）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=3）=$\frac{{∁}_{4}^{3}}{{2}^{4}}$=$\frac{4}{16}$；
P（ξ=2）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=2）=$\frac{{∁}_{4}^{2}}{{2}^{4}}$=$\frac{6}{16}$；
P（ξ=3）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=1）=$\frac{{∁}_{4}^{1}}{{2}^{4}}$=$\frac{4}{16}$；
P（ξ=4）=P（參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)該小組在甲展廳的人數(shù)ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{0}}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{16}$．

X	0	1	2	3	4
P（X）	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$

E（X）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{4}{16}$+2×$\frac{6}{16}$+3×$\frac{4}{16}$+4×$\frac{1}{16}$=2．

點(diǎn)評 本題考查了古典概率計(jì)算公式、條件概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．