Question

18．在以直角坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線C₁的方程是ρ=1，將C₁向上平移1個單位得到曲線C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁的切線交曲線C₂于不同兩點(diǎn)M，N，切點(diǎn)為T，求|TM|•|TN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的方程是ρ=1，即ρ²=1，利用ρ²=x²+y²，即可化為直角坐標(biāo)方程：再向上平移1個單位得到曲線C₂：x²+（y-1）²=1，展開利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得到曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)T（cosθ，sinθ），θ∈（0，π）．切線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+tcosα}\\{y=sinθ+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入C₂的方程化為：t²+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，利用|TM|•|TN|=|t₁t₂|及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的方程是ρ=1，即ρ²=1，化為x²+y²=1，將C₁向上平移1個單位得到曲線C₂：x²+（y-1）²=1，展開為x²+y²-2y=0．
則曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（II）設(shè)T（cosθ，sinθ），θ∈（0，π）．
切線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+tcosα}\\{y=sinθ+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入C₂的方程化為：t²+2t[cos（θ-α）-sinα]+1-2sinθ=0，
∴t₁t₂=1-2sinθ，
∴|TM|•|TN|=|t₁t₂|=|1-2sinθ|，
∵θ∈（0，π），∴|1-2sinθ|∈[0，1]，當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，|1-2sinθ|=1；當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時，|1-2sinθ|=0．∴
∴|TM|•|TN|的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．