Question

3．已知拋物線C：y²=2x，過拋物線C上一點(diǎn)P（1，$\sqrt{2}$）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB，分別交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為$-2-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出直線pA、pB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可證明直線AB的斜率為定值；

解答 解：∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，$\sqrt{2}$），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可知MA的斜率存在且不為0，設(shè)PA：y-$\sqrt{2}$=k（x-1），即y=kx-k+$\sqrt{2}$，
代入拋物線的方程得：$\frac{k}{2}$y²-y-k+2=0，
則：y₁+$\sqrt{2}$=$\frac{4-2k}{k}$，故：y₁=$\frac{4-2k}{k}-\sqrt{2}$，
設(shè)PB：y-$\sqrt{2}$=-k（x-1），即y=-kx+k+$\sqrt{2}$，
代入拋物線的方程得：$\frac{k}{2}$y²+y-k-2=0，
則：y₂+$\sqrt{2}$=-$\frac{4+2k}{k}$，故y₂=-$\frac{4+2k}{k}-\sqrt{2}$，
∴y₂-y₁=-$\frac{4+2k}{k}-\sqrt{2}-\frac{4-2k}{k}+\sqrt{2}$=$-\frac{8}{k}$．y₂+y₁=4-2$\sqrt{2}$．
y₁=kx₁-k+$\sqrt{2}$，y₂=-kx₂+k+$\sqrt{2}$，
y₂+y₁=-kx₂+kx₁+2$\sqrt{2}$=4-2$\sqrt{2}$，
x₂-x₁=$\frac{4\sqrt{2}-4}{k}$
直線AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-\frac{8}{k}}{\frac{4\sqrt{2}-4}{k}}$=-2-2$\sqrt{2}$．
∴直線BC的斜率為定值；
故答案為：$-2-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．