Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．那么數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 對n分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
∴當n=2k-1時，a_n+2=a_n+2，∴{a_2k-1}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2，∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，即n為奇數(shù)時a_n=n．
當n=2k時，a_n+2=3a_n，∴{a_2k}是等比數(shù)列，首項為2，公比為3，∴a_2k=2×3^k-1，即n為偶數(shù)時a_n=$2×{3}^{\frac{n-2}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{2×{3}^{\frac{n-2}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、三角函數(shù)求值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．