Question

15．如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）求$\frac{SE}{EB}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，作BK⊥EC，K為垂足，根據(jù)線面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分別求出SE與EB的長，從而得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)邊長的關(guān)系可知△ADE為等腰三角形，取ED中點(diǎn)F，連接AF，連接FG，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠AFG是二面角A-DE-C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A-DE-C的大小．

解答 解：（Ⅰ）連接BD，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC為直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K為垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．
SB=$\sqrt{S{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$，DE=$\frac{SD•DB}{SB}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
EB=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，SE=SB-EB=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以$\frac{SE}{EB}$=2．
（Ⅱ）SA=$\sqrt{S{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE=$\sqrt{（\frac{1}{3}SA）^{2}+（\frac{2}{3}AB）^{2}}$=1，又AD=1．
故△ADE為等腰三角形．
取ED中點(diǎn)F，連接AF，則AF⊥DE，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
連接FG，則FG∥EC，F(xiàn)G⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．
連接AG，AG=$\sqrt{2}$，F(xiàn)G=$\sqrt{D{G}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
cos∠AFG=$\frac{A{F}^{2}+F{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AF•FG}$=-$\frac{1}{2}$，
所以，二面角A-DE-C的大小為120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段長比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．