A. | 6 | B. | 8 | C. | 60 | D. | 80 |
分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a,b的關(guān)系,然后利用基本不等式求5a+4b的最小值.
解答 解:由目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{x}{a}+\frac{y}$(a>0,b>0)得y=-$\frac{a}$x+bz,
作出$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}$的可行域如圖:
∵a>0,b>0,
∴直線y=-$\frac{a}$x+bz的斜率為負(fù),且截距最大時(shí),z也最大.
平移直線y=-$\frac{a}$x+bz,由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}$x+bz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),
直線的截距最大,此時(shí)z也最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$,即A(4,5).
此時(shí)z=$\frac{4}{a}$+$\frac{5}$=10,
即$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1,
則5a+4b=(5a+4b)($\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$)=2+2+$\frac{8b}{5a}$+$\frac{5a}{2b}$≥4+2$\sqrt{\frac{8b}{5a}•\frac{5a}{2b}}$=4+4=8,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{8b}{5a}$=$\frac{5a}{2b}$,并且$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1,即4b=5a時(shí),b=1,a=$\frac{4}{5}$時(shí)取等號(hào),
故5a+4b的最小值為8,
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.
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A. | ab<b2<bc | B. | alogbc<blogac | C. | abc>bac | D. | logac<logbc |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | 3 | C. | -$\frac{1}{3}$ | D. | -3 |
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