Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=6，S₃=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：S₁，S₃，S₈成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=6，S₃=12．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{3{a}_{1}+3d=12}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）利用等差數(shù)列的求和公式分別計算：${S}_{3}^{2}$，S₁•S₈．即可證明．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=6，S₃=12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{3{a}_{1}+3d=12}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=2．∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）證明：∵S₁=2，S₃=$\frac{3×（2+6）}{2}$=12，S₈=$\frac{8×（2+16）}{2}$=72，
∴${S}_{3}^{2}$=12²=144，S₁•S₈=2×72=144．∴${S}_{3}^{2}$=S₁•S₈．
即S₁，S₃，S₈成等比數(shù)列．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．