Question

4．設函數f（x）=2x-$\frac{3}{x}$+alnx（a∈R），g（x）=3x-$\frac{3}{x}$．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數g（x）的圖象與f（x）的圖象有兩個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據△與0的關系進行分類討論，利用導數和函數的單調性的關系即可求出單調區(qū)間；
（2）化簡f（x）-g（x）=0，得到alnx=x，分別畫出分別畫出y=x和y=alnx的圖象，先求出當直線y=x和曲線y=alnx相切時a的值，觀察即可得到函數g（x）的圖象與f（x）的圖象有兩個交點的a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2x-$\frac{3}{x}$+alnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=2+$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax+3}{{x}^{2}}$，x＞0，
當△=a²-24≤0時，即-2$\sqrt{6}$≤a≤2$\sqrt{6}$，2x²+ax+3≥0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當△=a²-24＞0時，即a＜-2$\sqrt{6}$，或a＞2$\sqrt{6}$時，
令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，
若a＞2$\sqrt{6}$時，則x₁＜x₂＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
若a＜-2$\sqrt{6}$，則0＜x₁＜x₂，
當f′（x）＞0時，即x＞x₂，或x＜x₁，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x₁＜x＜x₂，函數單調遞減，
綜上所述，當a≥-2$\sqrt{6}$時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜-2$\sqrt{6}$時，函數f（x）在（0，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$）和（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，+∞）上單調遞增，在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{4}$）單調遞減；
（2）∵設h（x）=f（x）-g（x）=alnx-x=0（a∈R），
分別畫出y=x和y=alnx的圖象，
當直線y=x和曲線y=alnx相切時，設切點為（x₀，x₀），
∴y′=$\frac{a}{x}$
∴$\frac{a}{{x}_{0}}$=1，
即x₀=a，
∴a=alma，
解得a=e，
∵函數g（x）的圖象與f（x）的圖象有兩個交點
∴a＞e，
故a的取值范圍為（e，+∞）．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題