Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）和⊙M：（x-4）²+y²=r²（0＜r≤1），圓心M到拋物線C的準線的距離為$\frac{17}{4}$，過拋物線C上一點H（x₀，y₀）（y₀≥1）作兩條直線分別與⊙M相切與A、B兩點，與拋物線C交于E、F兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；
（3）若r=1時，直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用點M到拋物線準線的距離為$\frac{17}{4}$，可得p=$\frac{1}{2}$，從而可求拋物線C的方程；
（2）根據(jù)當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得k_HE=-k_HF，設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，從而可求直線EF的斜率；
（3）求以H為圓心、HA為半徑的圓方程與⊙M方程相減可得公共弦所在直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距t=4m-$\frac{15}{m}$（m≥1），再利用導數(shù)法，即可求得t的最小值．

解答 解：（1）∵點M到拋物線準線的距離為4+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，∴拋物線C的方程為y²=x；
（2）∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則$\frac{{y}_{H}-{y}_{1}}{{x}_{H}-{x}_{1}}$=-$\frac{{y}_{H}-{y}_{2}}{{x}_{H}-{x}_{2}}$，
∴$\frac{{y}_{H}-{y}_{1}}{{{y}_{H}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{y}_{H}-{y}_{2}}{{{y}_{H}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}$，∴y₁+y₂=-2y_H=-4．
∴k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{{{y}_{1}+y}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$；
（3）設點H（m²，m）（m≥1），則HM²=m⁴-7m²+16，
∴HA²=HM²-AM²=m⁴-7m²+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．                                                ②
①-②得：直線AB的方程為（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14，
當x=0時，直線AB在y軸上的截距t=4m-$\frac{15}{m}$（m≥1），
∵t′=4+$\frac{15}{{m}^{2}}$，∴t關于m的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當m=1時，t_min=-11．

點評 本題以拋物線與圓的方程為載體，考查拋物線的標準方程，考查直線方程，同時考查利用導數(shù)法解決函數(shù)的最值問題，綜合性較強，注意解題方法的積累，屬于中檔題．