Question

1．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n=na_n+1+2ⁿ，則數(shù)列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n項和T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 S_n=na_n+1+2ⁿ，a₁=1，可得a₁=a₂+2，解得a₂，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得n（a_n-a_n+1）=2^n-1；$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}-{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．即可得出．

解答 解：∵S_n=na_n+1+2ⁿ，a₁=1，∴a₁=a₂+2，解得a₂=-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n+1+2ⁿ-（n-1）a_n-2^n-1，∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1；
∴$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}-{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
數(shù)列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．