Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAH⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點(diǎn)N，連接FN，EN，則FN∥PD，EN∥AD，故而平面EFN∥平面PAD，所以EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥DE，由正方形的性質(zhì)可得DE⊥AH，故DE⊥平面PAH，于是平面PAH⊥平面DEF．

解答 證明：（Ⅰ）取CD中點(diǎn)N，連接FN，EN．
∵在△CPD中，F(xiàn)，N為中點(diǎn)，∴FN∥PD．
∵正方形ABCD中，E，N為中點(diǎn)，
∴EN∥AD，
∵EN?平面EFN，F(xiàn)N?平面EFN，EN∩FN=N，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴平面EFN∥平面PAD，∵EF?平面EFN，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE?底面ABCD，
∴DE⊥PA，
∵E，H分別為正方形ABCD邊AB，BC中點(diǎn)，
∴Rt△ABH≌Rt△ADE，則∠BAH=∠ADE，∴∠BAH+∠AED=90°，則DE⊥AH，
∵PA?平面PAH，AH?平面PAH，PA∩AH=A，
∴DE⊥平面PAH，∵DE?平面EFD，
∴平面PAH⊥平面DEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，面面垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．