Question

【題目】已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，的面積為直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．

求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

求面積的最大值；

設(shè)直線與直線交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在定直線上，并寫出該直線方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見證明

【解析】

根據(jù)離心率和三角形的面積即可求出，，

分兩種情況，當(dāng)PQ斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為，，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、，函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出的面積的最大值．

分兩種情況，PQ斜率不存在時(shí)，易知，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，即可整理化簡可得，解得即可．

解：由題意知，

，即，

的面積為2，

，

解得，，

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

斜率不存在時(shí)，易知，，此時(shí)，

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為，，

設(shè)，，

將代入，整理可得，

，，

，

，

令，，

，

故面積的最大值

證明斜率不存在時(shí)，易知，

當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，

，

，

解得，即N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

綜上所述，點(diǎn)N在定直線上．