6．在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC邊上的高分別為BD，AE，則以A，B為焦點，且過D，E兩點的橢圓和雙曲線的離心率的乘積為（　　）
A．1B．$\sqrt{3}$C．2D．2$\sqrt{3}$

分析 根據(jù)題意設(shè)出AB，進而根據(jù)橢圓的定義可求得a和c的關(guān)系式，求得橢圓的離心率．進而利用雙曲線的性質(zhì)，求得a和c關(guān)系，求得雙曲線的離心率，然后求得橢圓和雙曲線的離心率的乘積．

解答 解：設(shè)|AB|=2c，則在橢圓中，有c+$\sqrt{3}$c=2a，∴橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1，
而在雙曲線中，有$\sqrt{3}$c-c=2a′，∴雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$+1，
∴橢圓和雙曲線的離心率的乘積為（$\sqrt{3}$-1）（$\sqrt{3}$+1）=2
故選：C．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和雙曲線的簡單性質(zhì)．解題中靈活運用了橢圓、雙曲線的簡單性質(zhì)．

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16．已知a＞0，b＞0．
（I）若a+b=2，求$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小值；
（Ⅱ）求證：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．

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17．如圖，彈簧掛著的小球上下振動，時間t（s）與小球相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度h（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式是h=$\sqrt{2}$sint+$\sqrt{2}$cost，t∈[0，+∞）．，則小球開始振動時h的值為$\sqrt{2}$，小球振動時最大的高度差為4．

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14．函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$的最大值是$\frac{5}{4}$．

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1．已知函數(shù)f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos2x．
（1）討論函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)性；
（2）設(shè)$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，且$f（α）=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$，求sin2α的值．

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11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
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（2）不垂直與坐標軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過原點，且線段AB的垂直平分線交y軸于點P（0，-$\frac{3}{2}$），求直線l的方程．

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18．設(shè)正項等比數(shù)列{an}滿足a4a6=$\frac{1}{4}$，a7=$\frac{1}{8}$，則a1的值為（　�。�
A．15B．14C．12D．8

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15．如圖，在正方體ABCD一A1B1C1D1中，AB=3，CE=2EC1．
（Ⅰ）若F是AB的中點，求證；C1F∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．

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16．F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點，點P在雙曲線右支上，△POF（O為坐標原點）滿足OF=OP=$\sqrt{5}{，_{\;}}$PF=2，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{3}$B．2C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{3}$+1

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