Question

16．F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點，點P在雙曲線右支上，△POF（O為坐標(biāo)原點）滿足OF=OP=$\sqrt{5}{，_{\;}}$PF=2，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 運用余弦定理可得cos∠OFP，求得sin∠OFP，求得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，求得a，再由離心率公式，計算即可得到．

解答 解：由余弦定理可得cos∠OFP=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則sin∠OFP=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可設(shè)P為第一象限的點，
即有P（$\sqrt{5}$-2cos∠OFP，2sin∠OFP），
即為P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
代入雙曲線方程，可得
$\frac{9}{5{a}^{2}}$-$\frac{16}{5^{2}}$=1，
又a²+b²=5，
解得a=1，b=2，
則離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時考查余弦定理和任意角的三角函數(shù)的定義，考查運算能力，屬于中檔題．