Question

14．已知函數(shù) f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）
（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；
（2）若函數(shù)f（x）的值域是[4，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=2時(shí)，當(dāng)x≤2時(shí)，-x+6≤5；當(dāng)x＞2時(shí)，3+log₂x≤5．由此能求出不等式f（x）＜5的解集．
（2）當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=-x+6≥4，解得x=2時(shí)，f（x）=-x+6=4；當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+log_ax≥4，得log_ax≥1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù) f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），
∴a=2時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$，
∵f（x）≤5，
∴當(dāng)x≤2時(shí)，-x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，3+log₂x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．
綜上，不等式f（x）＜5的解集為{x|1≤x≤4}．…（7分）
（2）∵函數(shù) f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+6，x≤2}\\{3+lo{g}_{a}x，x＞2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
∴當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=-x+6≥4，解得x≤2，∴x=2時(shí)，f（x）=-x+6=4；
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+log_ax≥4，∴l(xiāng)og_ax≥1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x≤a，由x＞2，得a≥2，無(wú)解；
當(dāng)a＞1時(shí)，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算法則、不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．