Question

9．已知a＞0，函數(shù)$f（x）=-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a+b$，且-5≤f（x）≤3．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)$g（x）=f（{x+\frac{π}{2}}）$且lgg（x）＞0，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件根據(jù)正弦函數(shù)的值域，可得$\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.$，由此解得常數(shù)a，b的值．
（2）由題意可得$sin（{2x+\frac{π}{6}}）＞\frac{1}{2}$，再由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，由此求得x的范圍，即為g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵a＞0，函數(shù)$f（x）=-2asin（{2x+\frac{π}{6}}）+2a+b$，且-5≤f（x）≤3，
可得$\left\{\begin{array}{l}4a+b=3\\ b=-5\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-5\end{array}\right.$．
（2）由（1），可得$f（x）=-4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$，$g（x）=4sin（{2x+\frac{π}{6}}）-1$，
∴g（x）=-2sin[2（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
又由lgg（x）＞0，得$sin（{2x+\frac{π}{6}}）＞\frac{1}{2}$，再由2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的值域，三角不等式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．