Question

9．關(guān)于x的不等式$\frac{{（m-2）{x^2}+2（m-2）x-4}}{{{x^2}-x+2}}＜0$對(duì)一切x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，結(jié)合一元二次不等式與判別式△的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵${x^2}-x+2={（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$…（2分）
故只需（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0對(duì)一切x∈R恒成立．…（4分）
①當(dāng)m-2=0即m=2時(shí)，-4＜0恒成立，∴m=2…（6分）
②當(dāng)m-2≠0即m≠2時(shí)，由二次函數(shù)圖象可知，
只需$\left\{{\begin{array}{l}{m-2＜0}\\{△＜0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜2}\\{-2＜m＜2}\end{array}}\right.$…（10分）
∴-2＜m＜2…（11分）
綜上，m的取值范圍是（-2，2]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是解決本題的關(guān)鍵．