Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₁=2，S_n+2=2a_n，n∈N^*
（1）求a_n；
（2）求證：$\frac{a_1}{{（{{a_1}+1}）（{{a_2}+1}）}}+\frac{a_2}{{（{{a_2}+1}）（{{a_3}+1}）}}+…+\frac{a_n}{{（{{a_n}+1}）（{{a_{n+1}}+1}）}}＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）通過S_n+2=2a_n與S_n-1+2=2a_n-1（n≥2）作差整理的a_n=2a_n-1（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S_n+2=2a_n，
∴S_n-1+2=2a_n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）證明：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{（{a}_{1}+1）（{a}_{2}+1）}$+$\frac{{a}_{2}}{（{a}_{2}+1）（{a}_{3}+1）}$+…+$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．