Question

14．若2sin²α+sin²β-2sinα=0，則cos²α+cos²β的取值范圍為[1，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)已知等式，得到sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，可以解出sinα的取值范圍是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1，結(jié)合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得關(guān)于sinα的二次函數(shù)：y═（sinα-1）²+1，其中sinα∈[0，1]，由此能求出cos²α+cos²β的取值范圍．

解答 解：∵2sin²α+sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，
可得0≤sinα≤1，cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（2sin²α-2sinα+1）
=2-2sinα+sin²α=（sinα-1）²+1．
∵0≤sinα≤1，
∴當(dāng)sinα=0時(shí)，cos²α+cos²β有最大值為2，
當(dāng)sinα=1時(shí)，cos²α+cos²β有最小值1．
∴1≤cos²α+cos²β≤2．
∴cos²α+cos²β的取值范圍為[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角余弦值平方和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．