Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點(diǎn)M，N分別為棱PD，PC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P到平面AMN的距離．
（2）求二面角P-AN-M的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：CD⊥PD，即可得到MN⊥PD，在△PAD中，PA=AD=2，M為PD的點(diǎn)，可得AM⊥PD，再利用線面垂直的判定定理可得線面垂直，則PM即為所求，在△PAD中，由已知及勾股定理即可求得點(diǎn)P到平面AMN的距離．
（2）作MH⊥AN于H，連接PH，可得∠PHM為二面角P-AN-M的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出二面角的平面角即可．

解答 解：（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴CD⊥PD，
在△PCD中，M、N分別為PD、PC的中點(diǎn)，則MN∥CD，
∴MN⊥PD，
∵在△PAD中，PA=AD=2，M為PD的點(diǎn)，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM?平面AMN，MN?平面AMN，
∴PD⊥平面AMN，
∴PM是點(diǎn)P到平面AMN的距離，
∴由PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn)可得：PM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）作MH⊥AN于H，連接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM為二面角P-AN-M的平面角，
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，MH=$\frac{AM•MN}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴在Rt△PMH中，tan∠PHM=$\frac{PM}{MH}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠PHM=60°則二面角P-AN-M的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用線面垂直的判定定理證明線面垂直，以及求二面角的平面角與幾何體的體積公式，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，因此由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來(lái)，是求角的關(guān)鍵．也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離等問(wèn)題，屬于中檔題．