Question

7．已知點F是雙曲線$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$-$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，以坐標(biāo)原點O為圓心，OF為半徑的圓與該雙曲線左支交于點A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，1+$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，1+$\sqrt{2}$）
• D． （2，1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的對稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，設(shè)AB與x軸交于C，則由此可得∠AEC＜45°，得|AC|＜|EC|，將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，化簡整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對稱性，得△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角
設(shè)AB與x軸交于C，則由此可得∠AEC＜45°，得|AC|＜|EC|
以坐標(biāo)原點O為圓心，OF為半徑的圓的方程為x²+y²=c²，
與雙曲線方程聯(lián)立可得A（-$\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$，$\frac{^{2}}{c}$）
∴|AC|=$\frac{^{2}}{c}$，|EC|=a+$\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$
∴$\frac{^{2}}{c}$＜a+$\frac{a\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{c}$，即得e²-2e-2＜0，
∵雙曲線的離心率e＞1
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，1+$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點評 本題考查求雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．