Question

16．如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）和圓M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點(diǎn)H（x₀，y₀）（y₀≥1）作兩條直線與圓M相切于A，B兩點(diǎn)，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為$\frac{17}{4}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圓心M（4，0）到拋物線準(zhǔn)線的距離為$4+\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由${k_{MA}}=\frac{y_1}{{{x_1}-4}}$，可得${k_{HA}}=\frac{{4-{x_1}}}{y_1}$，直線HA的方程為（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，同理可得：直線HB的方程為（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，把H（x₀，y₀）（y₀≥1）代入可得：直線AB的方程為$（4-y_0^2）x-{y_0}y+4y_0^2-15=0$，令x=0，可得$t=4{y_0}-\frac{15}{y_0}（{y_0}≥1）$，利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M（4，0）到拋物線準(zhǔn)線的距離為$4+\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，
∴$p=\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程為y²=x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵${k_{MA}}=\frac{y_1}{{{x_1}-4}}$，
∴${k_{HA}}=\frac{{4-{x_1}}}{y_1}$，
可得，直線HA的方程為（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理可得：直線HB的方程為（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴$（4-{x_1}）y_0^2-{y_1}{y_0}+4{x_1}-15=0$，$（4-{x_2}）y_0^2-{y_2}{y_0}+4{x_2}-15=0$，
∴直線AB的方程為$（4-y_0^2）x-{y_0}y+4y_0^2-15=0$，
令x=0，可得$t=4{y_0}-\frac{15}{y_0}（{y_0}≥1）$，
∵t關(guān)于y₀的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t_min=-11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問題、切線的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．